Triangle

Un triangle est un polygone à trois côtés. (Voir : polygone.)
Il a également trois sommets.

Propriétés :
La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°.

Aire du triangle :  A = b * h / 2    (où b est la mesure d'un côté quelconque choisi comme base, et h la mesure de la hauteur correspondante, obligatoirement perpendiculaire à la base choisie).

Triangles particuliers :

Triangle isocèle : c'est un triangle qui a deux côtés égaux.

Propriétés :
Il a aussi deux angles égaux.
Il a un axe de symétrie, qui est la droite joignant le sommet principal avec le milieu de la base. (C'est aussi la médiatrice de la base, une médiane, une hauteur et une bissectrice du triangle.)


Le triangle ci-dessus est isocèle en A ; le point A est le sommet principal, et [BC] est la base.
Les côtés [AC] et [AB] sont de même longueur.
Les angles (ABC) et (ACB) sont superposables.
La droite (BH) est l'axe de symétrie  (H étant le milieu de la base).


Triangle équilatéral : c'est un triangle qui a trois côtés égaux.

Propriétés :
Il a trois angles égaux, mesurant 60° chacun.
Il a trois axes de symétrie : ce sont les médiatrices des côtés.
Il n'a pas de centre de symétrie.


Le triangle ci-dessus est équilatéral :  AB = BC = CA.
Les points I, J et K sont les milieux de ses côtés.
Les droites (AI), (BJ) et (CK) sont à la fois ses axes de symétrie, ses médianes, ses hauteurs, les médiatrices de ses côtés et les bissectrices de ses angles.
Leur point d'intersection O est à la fois le centre de gravité du triangle, son orthocentre, le centre de son cercle inscrit et le centre de son cercle circonscrit.


Triangle rectangle :  c'est un triangle qui a un angle droit.
Le plus long des trois côtés (celui qui est opposé à l'angle droit) est appelé : hypoténuse.

Propriétés :
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont toujours complémentaires (ce qui veut dire que leur somme est égale à 90°).

Théorème de Pythagore :  (voir : Pythagore)

Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés de ses deux autres côtés.

Réciproque :
Si le carré de l'un des côtés d'un triangle est égal à la somme des carrés de ses deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Voici une animation interactive illustrant certaines propriétés du triangle rectangle (théorème de Pythagore, somme des angles aigus, cosinus) :

 



Théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle : (voir : circonscrit)

Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.

Réciproque :
Si l'un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.


Le triangle (ABC) ci-dessus est rectangle en A ; le côté [BC] est son hypoténuse.
Le point O est le milieu de l'hypoténuse et le centre du cercle circonscrit :  OA = OB = OC.
D'autre part, le théorème de Pythagore nous dit que :  AB2 + AC2 = BC2 .

 

Voici une autre animation interactive montrant :

  • les variations de l' angle (AMB) : droit quand le point M appartient au cercle de diamètre [AB], aigu quand M est à l' extérieur du cercle, obtus quand il est à l' intérieur ;
  • les variations de AM2 + BM2 : égal à AB2 quand M appartient au cercle, supérieur à AB2 quand M est à l' extérieur du cercle, inférieur à AB2 quand M est à l' intérieur du cercle.

 




Triangle quelconque : c'est un triangle qui n'a aucune des particularités évoquées ci-dessus.


Droites remarquables du triangle : voir médiane, hauteur, médiatrice, bissectrice.