| Proportionnalité Nous appelons "suite de nombres" un ensemble
de nombres ordonné. Les nombres qui la composent sont ses termes.
Deux suites de nombres sont proportionnelles si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) tous les termes par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé : coefficient de proportionnalité (ou opérateur). Quand deux ou plusieurs suites proportionnelles sont représentées dans un de tableau, on parle de tableau de proportionnalité. Exemples :
Les suites s1 et s2
sont proportionnelles, car on peut passer de s1 à s2
en multipliant tous les termes par 1,5. Les quotients : 6 / 4 , 9 /
6 , 12 / 8 , 15 / 10 , 18 / 12 et 21 / 14 sont tous égaux à
1,5.
Les suites s3 et s4 ne
sont pas proportionnelles, car les quotients : 6 / 4 , 8 / 6 , 10 /
8 , 12 / 10 , 14 / 12 et 16 / 14 ne sont pas égaux.
Propriété :
Dans un tableau de proportionnalité élémentaire (tableau à 2 lignes et 2 colonnes), les "produits en croix" (produit des extrêmes et produit des moyens) sont toujours égaux. Inversement, si ces produits sont égaux, alors le tableau est un tableau de proportionnalité. Exemples :
Le calcul de la "quatrième proportionnelle"
peut se faire de plusieurs façons, que nous allons voir sur un exemple
:
Un cycliste a parcouru 12 km en 40 min. S'
il continue à rouler à la même vitesse, quelle distance
aura-t-il parcourue au bout d' une heure ?
a) Méthode basée sur les
produits croisés (parfois appelée règle de trois) :
(12 * 60) / 40 = 720 / 40 = 18
Il aura donc parcouru 18 km au bout d' une heure.b) Méthode basée sur le
coefficient de proportionnalité ("opérateur-ligne") qui permet
de passer de la première ligne à la deuxième :
12 : 40 = 0,3
Pour passer de la première ligne (temps
en min) à la deuxième (distance parcourue, en km)
on multiplie chaque terme par 0,3. C' est le coefficient de proportionnalité.
60 * 0,3 = 18
Nous retrouvons le même résultat
que précédemment.
Remarque : dans ce problème, le nombre 0,3 représente la distance parcourue en une minute. Le cycliste parcourt 0,3 km (soit 300 m) en une minute ; donc en 1 h il parcourt 60 fois 0,3 km, ce qui fait 18 km. c) Méthode basée sur le coefficient de proportionnalité ("opérateur-colonne") qui permet de passer de la première colonne à la deuxième : 60 : 40 = 1,5
Pour passer de la première colonne à la deuxième,
on multiplie tous les termes par 1,5.12 * 1,5 = 18
Nous arrivons une nouvelle fois au même résultat.Remarque : dans ce problème, ce coefficient 1,5 signifie que dans une heure il y a "une fois et demie" 40 minutes ; en effet : 40 min + 20 min = 60 min. Donc, en 1 h, le cycliste parcourt : 12 km + 6 km = 18 km. Pour illustrer ce problème d' une manière plus complète, faisons un tableau développé et sa représentation graphique :
On peut développer davantage, en faisant
par exemple des intervalles d' une minute.
Dans le plan rapporté à un repère
cartésien, portons le temps en abscisse, et la distance parcourue
en ordonnée :
Le fait que tous les points obtenus soient
alignés sur une droite passant par l' origine est caractéristique
des situations de proportionnalité.
Voir : vitesse, pourcentage, échelle. |