Un nombre entier naturel est premier s'il possède exactement
deux diviseurs : 1 et lui-même.
Par exemple, le nombre 37 est premier, car il n'est divisible
que par 1 et par 37.
Le nombre 38 ne l'est pas, car il est divisible par 1,
par 2, par 19 et par 38, ce qui lui fait 4 diviseurs.
La liste des nombres premiers commence ainsi : 2
; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43
; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 ; etc.
La méthode la plus simple pour établir la
liste des nombres premiers inférieurs à un nombre
donné N est le crible d' Eratosthène.
On commence par écrire la liste des nombres entiers de
2 jusqu'à N.
On sélectionne 2, puis on élimine ses multiples
de la liste.
Parmi les nombres restants, le plus petit est 3 ; on le sélectionne,
puis on élimine ses multiples.
Parmi les nombres restants, le plus petit est 5 ; on le sélectionne,
puis on élimine ses multiples.
Et ainsi de suite.
Les nombres sélectionnés sont premiers, les nombres
éliminés ne le sont pas.
Voici une illustration interactive du crible d' Eratosthène
:
Voici un petit programme (applet Java) qui donne la liste des nombres
premiers de 0 à 100 000, par tranches de mille. Choisissez
la tranche que vous voulez voir.
Voici encore une autre applet qui vous permettra de tester le nombre entier de votre choix.
Les nombres premiers sont très utilisés en arithmétique
: recherche des diviseurs d' un nombre, pgcd, réduction des
fractions, etc.
De nombreuses recherches leur ont été consacrées.
On dit que deux nombres entiers naturels sont premiers entre
eux si leur seul diviseur commun est 1. Ceci revient à dire
que leur pgcd est 1.
Une fraction est dite irréductible si son numérateur
et son dénominateur sont premiers entre eux.
Voir : pgcd, ppcm,
fractions, multiples, diviseurs.