Considèrons deux ou plusieurs cercles quelconques,
et comparons leurs diamètres et leurs périmètres : on
peut vérifier que les périmètres sont proportionnels
aux diamètres. Le coefficient de proportionnalité est noté
: 
(première lettre du mot périmètre, en grec).
Ce nombre s' obtient donc en divisant le périmètre d' un
cercle quelconque par son diamètre.
La valeur de
peut être établie expérimentalement (de manière
approximative) ou bien par des considérations purement mathématiques
(ce qui permet d' obtenir des valeurs approchées bien meilleures).
Dans l' Antiquité, ont utilisait des valeurs approchées
fractionnaires, en particulier 22 / 7.
Aujourd' hui, on préfère les valeurs approchées
décimales : 3,14159 par exemple. Si la précision est
jugée insuffisante, on peut ajouter quelques décimales ;
voici un tableau donnant les 500 premières :
3,
|
14159
|
26535
|
89793
|
23846
|
26433
|
83279
|
50288
|
41971
|
69399
|
37510
|
|
58209
|
74944
|
59230
|
78164
|
06286
|
20899
|
86280
|
34825
|
34211
|
70679
|
|
82148
|
08651
|
32823
|
06647
|
09384
|
46095
|
50582
|
23172
|
53594
|
08128
|
|
48111
|
74502
|
84102
|
70193
|
85211
|
05559
|
64462
|
29489
|
54930
|
38196
|
|
44288
|
10975
|
66593
|
34461
|
28475
|
64823
|
37867
|
83165
|
27120
|
19091
|
|
45648
|
56692
|
34603
|
48610
|
45432
|
66482
|
13393
|
60726
|
02491
|
41273
|
|
72458
|
70066
|
06315
|
58817
|
48815
|
20920
|
96282
|
92540
|
91715
|
36436
|
|
78925
|
90360
|
01133
|
05305
|
48820
|
46652
|
13841
|
46951
|
94151
|
16094
|
|
33057
|
27036
|
57595
|
91953
|
09218
|
61173
|
81932
|
61179
|
31051
|
18548
|
|
07446
|
23799
|
62749
|
56735
|
18857
|
52724
|
89122
|
79381
|
83011
|
94912
|
C' est Archimède qui, le premier, a mis au point une méthode
de calcul de valeurs approchées de . Sa technique consistait à calculer
le périmètre de polygones réguliers inscrits
dans un cercle : d' abord un triangle, puis un hexagone, puis un dodécagone,
puis un polygone à 24 côtés, etc. (en multipliant
par 2 le nombre de côtés autant de fois que possible).
On obtient ainsi des valeurs approchées par défaut de
plus en plus précises. (On peut obtenir aussi des valeurs approchées
par excès, à l' aide de polygones exinscrits.)
Voici une illustration interactive de la méthode d' Archimède
:
Actuellement, on connaît un grand nombre d' algorithmes permettant
de calculer des valeurs approchées de ; leur efficacité est variable.
Les meilleurs algorithmes, épaulés par les ordinateurs
les plus puissants, permettent de calculer plus de mille milliards
(un billion) de décimales.
Voici par exemple un petit programme (applet Java)
basé sur la formule : = 16 Arctan(1/5) - 4 Arctan(1/239),
et sur les "développements en série" . Il
permet de calculer très vite 500 ou même 1000 décimales,
mais ralentit beaucoup ensuite.
Il a été démontré que le nombre
est irrationnel :
il ne peut pas s' écrire sous forme fractionnaire ; ses décimales
ne présentent aucune périodicité. Il n' est pas
non plus algébrique : c' est un nombre transcendant.
Voir : cercle, disque,
sphère, boule,
rationnel, réel.