| Nombre Les nombres entiers
naturels servent à compter les éléments d'un
ensemble (objets, personnes, etc.).
Dans notre système de numération, ils s' écrivent de la manière suivante : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; etc. Cette suite est infinie. (Voir : infini.) On note N l' ensemble des nombres entiers naturels. Bien qu' il existe une infinité de nombres entiers, ils peuvent tous s' écrire à l' aide de dix chiffres seulement en numération décimale. (Voir : chiffre.) Les nombres entiers relatifs servent à faire des comparaisons ou des bilans. Ils se différencient des nombres entiers naturels par leur signe : + ou - . Ceux qui ont le signe + sont positifs ; ceux qui ont le signe - sont négatifs. Le nombre 0 est nul. Les nombres négatifs sont inférieurs à 0 ; les nombres positifs sont supérieurs à 0. On note Z l' ensemble des nombres entiers naturels. L' ensemble N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. Les nombres décimaux servent à faire des mesures, par comparaison avec une unité prise comme référence : mesures de longueurs (en mètres par exemple), d' aires, de volumes, de masses, prix (en € par exemple), etc. Ils peuvent être obtenus en divisant un nombre entier par une puissance de dix (10, 100, 1000, 10 000, 100 000, etc.). Ils peuvent éventuellement être relatifs (pourvus d' un signe) si on veut introduire des bilans. Exemple : 125, 3647 est un nombre décimal ; sa partie entière est 125 ; sa partie décimale est 3647. Il est égal au quotient de 1 253 647 par 10 000. Leur partie décimale, comme leur partie entière, a toujours une longueur finie. On note D l' ensemble des nombres décimaux relatifs. Z est un sous-ensemble de D. Les nombres rationnels apparaissent dans les problèmes de partage ; ce sont des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme de quotients de nombres entiers, autrement dit sous forme fractionnaire. (Voir : fraction.) Quand on veut écrire un nombre rationnel sous forme décimale, on obtient soit une suite décimale finie, soit une suite infinie ; dans le second cas, il existe une séquence de chiffres qui se reproduit indéfiniment. Ex. :
D est un sous-ensemble de Q. Dans un nombre réel, la suite décimale peut être finie ou non, périodique ou non. Dans l' Antiquité, on utilisait seulement les nombres entiers et rationnels ; les décimaux et les réels étaient inconnus. C' est à l' époque de Pythagore que l' étude des racines carrées a montré l' insuffisance des rationnels : en effet, un nombre comme 
, par exemple, ne peut pas s' écrire sous forme de fraction. Ce
nombre est dit "irrationnel" (mot mal choisi !). Parmi les nombres réels, certains sont "algébriques" (ce qui veut dire que ce sont des solutions d'équations simples, à coefficients rationnels, faisant intervenir les quatre opérations de base et les puissances) ; par exemple,
est algébrique. Ceux qui ne sont pas algébriques sont dits
"transcendants". C' est le cas du nombre 
.On note R l' ensemble des nombres réels. Q est un sous-ensemble de R. Les nombres complexes font intervenir un nombre dit "imaginaire" : i = 
. Cette idée peut sembler absurde, puisqu' aucun nombre réel
ne peut avoir un carré négatif. Pourtant, les nombres complexes
(ayant une partie réelle et une partie imaginaire) peuvent s' interpréter
géométriquement, et ils complètent les nombres réels
d' une manière particulièrement simple. Ils sont un outil très
efficace pour résoudre de nombreux problèmes géométriques
ou algébriques : cette efficacité est bien réelle, et
pas du tout imaginaire !On note C l' ensemble des nombres complexes. R est un sous-ensemble de C. Il existe d' autres types de nombres : les quaternions, les nombres p-adiques, etc. Voir : entiers, relatifs, décimaux, rationnels, fractions, réels. |