La notion d' infini, au sens mathématique, se base sur l' idée d' algorithme. Un algorithme est une opération qu' on peut répéter autant de fois qu' on le désire.
Par exemple, on peut toujours ajouter 1 à un nombre entier, et on obtient un nombre plus grand que le précédent ; aucun nombre ne peut être déclaré plus grand que tous les autres.
Ceci se traduit en disant que l' ensemble des nombres entiers est infini : nous savons comment procéder pour "construire" cet ensemble, mais nous ne pourrons jamais le construire entièrement.

Dans la pratique, on rencontre toujours des limites ; par exemple, si nous travaillons sur les nombres entiers avec un ordinateur, nous pouvons utiliser des entiers de type byte, codés sur 1 octet (valeur maximale : 127), ou de type short, codés sur 2 octets (valeur maximale : 32 767), ou de type int, codés sur 4 octets (valeur maximale : 2 147 483 647), ou de type long, codés sur 8 octets (valeur maximale : 9 223 372 036 854 775 807). Mais, si c' était utile, il serait facile de programmer un ordinateur pour aller plus loin. Jusqu' où ? Personne ne le sait. En tout cas, les mathématiciens ne sont pas habilités à fixer des limites.

L' infini algorithmique intéressait déjà les mathématiciens et philosophes grecs de l' Antiquité. Il a inspiré à Zénon d' Elée l' un de ses plus fameux paradoxes : l' histoire d'Achille et de la tortue.
Utilisons les unités de notre époque, et imaginons Achille courant après la tortue ; il a 1 km de retard, et court 10 fois plus vite qu' elle. Il est au point A₁, et elle au point A₂. Quand Achille arrive au point A₂, la tortue n' y est plus : elle est au point A₃, 100 m plus loin. Quand Achille arrive en A₃, la tortue a parcouru 10 m de plus ; elle est en A₄. Quand Achille arrive en A₄, la tortue est en A₅, à 1 m de là. Quand Achille arrive en A₅, elle est en A₆, et l' écart est encore de 10 cm. Puis de 1 cm, de 1 mm, de 0,1 mm, etc. Ce raisonnement n' a pas de fin ; pourtant, la poursuite en a une !
Pour les mathématiciens d' aujourd' hui, habitués aux algorithmes (voir ce mot) et aux problèmes de limites, le paradoxe n' en est plus un : il est possible de savoir où et quand Achille va rattraper la tortue, connaissant leurs vitesses respectives et la distance qui les sépare ; le calcul peut se faire avec ou sans algorithme.
Bien compris, l' algorithme est un outil mathématique efficace, conduisant à des conclusions concrètes et fiables.

Imaginons maintenant un problème commençant ainsi : "Soit un nombre réel compris entre 0 et 1, comportant une infinité de décimales choisies au hasard". L'expression "choisies au hasard" signifie qu' il n' existe aucun algorithme permettant de construire l' ensemble de ses décimales ; nous ne pourrons les connaître que si on nous en communique la liste complète, ce qui est impossible puisqu' il y en a une infinité. Par conséquent, ce nombre n' existe pas en tant qu' être mathématique : on ne peut ni l' étudier, ni l' utiliser.
Si nous avons besoin d' une quantité infinie d' information pour résoudre un problème, alors nous ne le résoudrons jamais.

 (Voir : le continu.)