Fraction

Une fraction est un quotient de deux nombres entiers a et b ; on l' écrit sous la forme : , où a est le numérateur et b le dénominateur (non nul).

Les nombres qui peuvent s' écrire sous forme fractionnaire sont appelés : nombres rationnels.
(Voir : nombre ; rationnel.)

Fractions équivalentes :

Des fractions sont équivalentes si elles représentent le même nombre rationnel , c' est-à-dire si les deux quotients sont égaux.

Quand on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d' une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction équivalente à la précédente.

Exemple : 



Si deux fractions sont équivalentes, alors les produits en croix (produit des extrêmes et produit des moyens) sont égaux (et réciproquement).

Si  , alors : a d = b c (et réciproquement).

a et d sont les extrêmes, b et c sont les moyens.

Exemple :  car 12 * 12 = 144 et 16 * 9 = 144.



Simplification (ou réduction) des fractions :

Pour réduire une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre ; ce nombre doit être un diviseur commun du numérateur et du dénominateur.
On peut répéter l'opération autant de fois qu' il le faut pour obtenir une fraction irréductible.
Celle-ci doit avoir un numérateur et un dénominateur entiers, sans diviseur commun (autre que 1) ; autrement dit, le numérateur et le dénominateur doivent être premiers entre eux.
Le moyen le plus rapide pour arriver à la fraction irréductible est de diviser le numérateur et le dénominateur par leur pgcd. (Voir : pgcd.)

Exemple : 

(On a simplifié par 12, qui est le pgcd de 72 et 132.)


Réduction au même dénominateur :

Lorsque deux fractions ont des dénominateurs différents, il peut être utile (pour pouvoir les comparer, les additionner ou les soustraire plus facilement) de les réduire au même dénominateur, c' est-à-dire de les remplacer par d' autres fractions équivalentes, ayant le même dénominateur. Ce dénominateur commun sera généralement un multiple commun des dénominateurs d' origine ; le plus simple est de choisir leur ppcm. (Voir : ppcm.)

Exemple : réduisons au même dénominateur les fractions suivantes :  et .

Le pgcd de 12 et 18 est 6 ; leur ppcm est : (12 * 18) / 6 = 36.

Pour obtenir 36, il faut multiplier 12 par 3 et 18 par 2.

  et   .

Conséquences :

15 > 14 donc   donc   ;

;

.

Produits :

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, il suffit de multiplier son numérateur par ce nombre. (Il revient au même, quand c'est possible, de diviser son dénominateur par ce nombre.)

  

Exemple :  


Pour multiplier deux fractions entre elles, il suffit de multiplier leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux.

   

Exemple :  (On a simplifié par 15.)


Quotients :

Pour diviser une fraction par un nombre entier non nul, il suffit de multiplier son dénominateur par ce nombre. (Il revient au même, quand c'est possible, de diviser son numérateur par ce nombre.)

   

Exemple :  


L' inverse d'une fraction (non nulle) s' obtient en échangeant son numérateur et son dénominateur.

L'inverse de  est .
Par exemple, l'inverse de  est .
Le produit de deux fractions inverses est toujours égal à 1.

 

Exemple :   .


Diviser un nombre quelconque (fractionnaire ou non) par une fraction revient à multiplier ce nombre par l' inverse de la fraction.

 

Exemple :    

   

Exemple :  


Sommes et différences :

Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit d'additionner (ou soustraire) leurs numérateurs. (On conserve le dénominateur commun.)

 

Exemple : 

 

Exemple :  


Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, on peut commencer par les réduire au même dénominateur (voir le paragraphe sur ce sujet) ; ensuite, il est possible d'appliquer la règle ci-dessus.

(Voir exemple au paragraphe sur la réduction au même dénominateur.)

On peut aussi utiliser les formules suivantes :

 

Exemple :  

 

Exemple :  

Pour effectuer des additions ou soustractions contenant à la fois des nombres entiers et des fractions, on peut transformer les entiers en fractions.

Exemple :    

Equation contenant des fractions :

Nous nous contenterons de deux exemples.

Premier exemple :   Résoudre :   .


Nous avons le droit de multiplier les deux membres de l' équation par un même nombre. Pour avoir les meilleures simplifications, il faut que ce nombre soit un multiple des trois dénominateurs :  5 ; 4 ; 10. Le mieux est de choisir leur plus petit multiple commun, qui est 20 : en effet, 20 = 4 * 5 = 2 * 10.  Multiplions donc les deux membres de l' équation par 20 :



Toutes les fractions se simplifient ; on obtient:
8 x - 5 = 2 x + 40
8 x - 2 x = 40 + 5
6 x = 45
x = 45 / 6 = 15 / 2 = 7,5

Deuxième exemple :   Résoudre :     .

Nous savons que si deux fractions sont égales, alors le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Exploitons cette propriété :
3 (2 x - 1) = 5 (x + 4)
Appliquons la distributivité :
6 x - 3 = 5 x + 20
6 x - 5 x = 20 + 3
x = 23

Vérifions :





Fractions superposées :

Les fractions superposées sont des fractions dont le numérateur et le dénominateur contiennent au moins une fraction.

Premier exemple :



Deuxième exemple :



Nous sommes obligés de faire les calculs dans un ordre précis.
Dans cet exemple, il faut commencer par la fraction située en bas à droite ; nous progressons ensuite par étapes. Voici la succession des calculs :