Une fonction établit une correspondance entre des nombres (pris dans un ensemble de départ) et d' autres nombres (appartenant à un ensemble d' arrivée).
Une fonction est une application (comme les symétries, les translations, etc.) mais ses ensembles de départ et d' arrivée doivent être des ensembles de nombres. 

Prenons comme exemple la fonction cosinus : à chaque mesure d' angle exprimée en degrés (nombre compris entre 0 et 360), elle fait correspondre un nombre compris entre - 1 et 1 (le cosinus de l' angle).
Quand on entreprend l' étude de cette fonction, on remplace la mesure de l' angle par une lettre (souvent x) qui peut prendre  toutes les valeurs possibles entre 0 et 360 : c' est la variable. On note par exemple y le nombre qui lui est associé : y = cos(x).
Le but de l' étude est de comprendre comment évolue la valeur de y quand x varie.

Une bonne façon d' illustrer le problème consiste à tracer la représentation graphique (ou "graphe") de la fonction : dans le plan rapporté à un repère cartésien, on place des points de coordonnées (x, y) ; l' abscisse x est la variable (mesure de l' angle en degrés), et l' ordonnée y est le nombre qui lui est associé (cosinus de l' angle).
Comme x peut prendre une infinité de valeurs (de même que y), il y a, en principe, une infinité de points à tracer. C' est matériellement impossible ; mais ces points se placent tous sur une même ligne courbe, qu' on peut visualiser "assez bien" avec un nombre limité de points. Le but est de faire apparaître l' allure générale de cette courbe.

Voir : application ; variable ; graphique.