Une équation se présente comme une égalité, dont les membres contiennent une ou plusieurs inconnue(s).
Une inconnue est un nombre dont la valeur n' est pas précisée, et qu'on représente le plus souvent par une lettre (par exemple x).
Lorsqu' on attribue des valeurs numériques à l' inconnue (ou aux inconnues), l' égalité peut être vraie ("vérifiée") ou fausse.
Les valeurs pour lesquelles l' égalité est vérifiée sont les solutions de l' équation.
Résoudre une équation, c' est trouver toutes ses solutions.

Exemples d' équations :

• 2 x + 7 = 25 (équation du premier degré)
• 4 x² + 3 x = 17 (équation du second degré)
• 5 x³ + 3 x² - 7 x = 11 (équation du troisième degré)
• cos (x + 0,25) = (1 + Log(x))²  (équation non algébrique)

Règles de base :

• Il est permis d' ajouter (ou de retrancher) un même nombre (ou une même expression) aux deux membres d' une équation. On obtient alors une équation équivalente à la précédente (c'est-à-dire ayant exactement les mêmes solutions).
• Il est permis de multiplier (ou de diviser) les deux membres d' une équation par un même nombre non nul. On obtient alors une équation équivalente.
• Principe de la transposition (conséquence directe de la première règle) :  lorsque les membres d' une équation sont sous forme de sommes algébriques (sommes comportant un ou plusieurs termes, positifs ou négatifs), il est permis de choisir un terme quelconque et de le transposer, c' est-à-dire de le faire passer d' un membre dans l'autre, en changeant son signe. Ceci ne change rien aux solutions de l' équation.

Equations du premier degré à une inconnue :

Exemples :

Résolution de l'équation :   5 x + 4 = 7
Retranchons 4 aux deux membres :
5 x + 4 - 4 = 7 - 4
5 x = 3
Divisons les deux membres par 5 :
5 x / 5 = 3 / 5
x = 0,6

Résolution de l' équation :   2 x + 7 - 5 x + 4 = 3 x - 2 - 10 x + 15
Sélectionnons quelques termes (en rouge) puis transposons-les :
2 x + 7 - 5 x + 4 = 3 x - 2 - 10 x + 15
2 x - 5 x - 3 x + 10 x = - 2 + 15 - 7 - 4
Les termes transposés ont changé de signe.
Le choix des termes à transposer n'a pas été fait au hasard : le but était d' isoler les x dans un même membre de l' équation.
Simplifions les deux membres :
4 x = 2
Divisons-les par 4 :
4 x / 4 = 2 / 4
x = 0,5

Lorsqu' une équation du premier degré comporte des parenthèses, il peut être nécessaire de les supprimer avant de faire les transpositions :

Parenthèses précédées du signe + :  ce sont des parenthèses inutiles, qu' on peut supprimer sans modifier les nombres ni les signes.
Ex. :   12 + (5 - 10 + 3 - 9) = 12 + 5 - 10 + 3 - 9
Pour ajouter une somme algébrique à un nombre (ou à une expression queconque), il suffit d' ajouter un par un tous ses termes.

Parenthèses précédées du signe -  :   on peut également supprimer ces parenthèses, mais on doit remplacer chacun des termes situés à l' intérieur par son opposé.
Ex. :   8 - (5 + 2 - 9 + 4 - 3) = 8 - 5 - 2 + 9 - 4 + 3
Pour soustraire une somme algébrique à un nombre , il suffit d'ajouter à ce nombre les opposés de tous les termes de cette somme algébrique.

Parenthèses précédées d'un facteur (nombre qui les multiplie) :  il faut penser que le facteur multiplie tous les termes situés entre les parenthèses. Voir : distributivité.
Ex. :   7 + 4 (5 - 3 + 8 - 6) = 7 + 4 * 5 - 4 * 3 + 4 * 8 - 4 * 6 = 7 + 20 - 12 + 32 - 24
Pour multiplier une somme algébrique par un facteur, on multiplie chaque terme de la somme algébrique par ce facteur. (Attention : si le facteur est négatif, ne pas oublier d' appliquer la règle des signes de la multiplication.)

Exemple :  
Résolution de l'équation :  
2 x + (3 x - 1) + 3 (2 x - 3) = 5 - (x - 16) - 2 (4 x + 5)
Supprimons les parenthèses, en appliquant les 3 règles ci-dessus :
2 x + 3 x - 1 + 6 x - 9 = 5 - x + 16 - 8 x - 10
Nous pouvons maintenant faire les transpositions :
2 x + 3 x + 6 x + x + 8 x = 5 + 16 - 10 + 1 + 9
Simplifions :
20 x = 21
Divisons par 20 :
x = 21 / 20 = 1,05

Une équation du premier degré a généralement une solution unique, sauf dans deux cas particuliers :

• Si après les transpositions et simplifications, on arrive à l'égalité :  0 x = 0,  alors l' équation a une infinité de solutions. En effet, quelle que soit la valeur attribuée à x, cette égalité est toujours vraie.
• Si on arrive à une égalité de la forme  0 x = b, avec b différent de 0, alors l' équation n' a aucune solution. En effet, quelle que soit la valeur attribuée à x, cette égalité est toujours fausse.

 
Systèmes de deux équations à deux inconnues :

Une équation du premier degré à deux inconnues peut s' écrire sous la forme :  a x + b y = c, où a, b et c sont les coefficients (nombres donnés) et où x et y sont les inconnues. Ses solutions sont les couples de nombres (x, y) vérifiant l'égalité.
Une équation de ce type a généralement une infinité de solutions (sauf si a = b = 0).
On peut représenter ces solutions dans un plan rapporté à un repère cartésien : chaque solution (x, y) est représentée par le point de coordonnées (x, y).
On obtient alors une droite.
On dit que l'équation  a x + b y = c  est une équation de droite.

Un système de deux équations à deux inconnues comprend deux équations du type précédent (par exemple :  a₁ x + b₁ = c₁  et  a₂ x + b₂ = c₂), et le but est de trouver les couples (x, y) qui vérifient à la fois les deux équations ; autrement dit, les solutions du système sont les solutions communes aux deux équations. Comme les solutions de la première équation forment souvent une droite (sauf si a₁ = b₁ = 0), de même que les solutions de la seconde (sauf si a₂ = b₂ = 0), on obtiendra souvent un point d' intersection (sauf si les droites sont parallèles !), et le système aura donc une solution unique.

Nous allons montrer, sur des exemples, les principales méthodes de résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues.

Méthode de combinaison :

Soit le système :
2 x + 3 y = 16
3 x - 8 y = 14

Multiplions les deux membres de la première équation par 8, et ceux de la seconde par 3 :
16 x + 24 y = 128
9 x - 24 y = 42
Si vous n' avez pas compris pourquoi nous avons choisi ces nombres 8 et 3, observez les coefficients de y : ils sont maintenant opposés. C' était notre but.
Additionnons les équations membre à membre ; nous obtenons :
16 x + 24 y + 9 x - 24 y = 128 + 42, soit :
25 x = 170
Les y ont disparu : ils ont été "éliminés" ; le calcul de x devient facile.
Divisons par 25 :
x = 170 / 25 = 6,8
Il nous reste à calculer y ; reprenons au début, et essayons d' éliminer x ; pour cela, multiplions la première équation par 3, et la seconde par - 2 :
6 x + 9 y = 48
- 6 x + 16 y = - 28
Additionnons membre à membre :
25 y = 20
Divisons par 25 :
y = 20 / 25 = 0,8
La solution du système est donc : (6,8 ; 0,8).

Vérification :

• 2 x + 3 y = 2 * 6,8 + 3 * 0,8 = 13,6 + 2,4 = 16
• 3 x - 8 y =  3 * 6,8 - 8 * 0,8 = 20,4 - 6,4 = 14

Méthode de substitution :

Reprenons le même système :
2 x + 3 y = 16
3 x - 8 y = 14

A l' aide de la première équation, exprimons x en fonction de y :
2 x = 16 - 3 y
x = (16 - 3 y) / 2 = 8 - 1,5 y
Prenons maintenant la seconde équation, et faisons une substitution : remplaçons x par (8 - 1,5 y) :
3 x - 8 y = 14
3 (8 - 1,5 y) - 8 y = 14
24 - 4,5 y - 8 y = 14
24 - 14 = 4,5 y + 8 y
10 = 12,5 y
y = 10 / 12,5 = 0,8
Maintenant, reprenons l' égalité : x = 8 - 1,5 y  que nous avons obtenue précédemment, et remplaçons y par 0,8 :
x = 8 - 1,5 * 0,8 = 8 - 1,2 = 6,8
Nous obtenons : (x, y) = (6,8 ; 0,8).

Méthode graphique :

Nous allons dessiner les droites correspondant aux deux équations, et chercher leur point d' intersection.
Première droite (équation : 2 x + 3 y = 16) .
L' équation peut s' écrire :  3 y = - 2 x + 16, ou encore : y = (- 2 x + 16) / 3.
Choisissons des valeurs de x, et calculons les valeurs correspondantes de y, puis écrivons nos résultats dans un tableau :

L' équation peut s' écrire :  3 x - 14 = 8 y , ou encore :  y = (3 x - 14) / 8.
Choisissons des valeurs de x, et calculons les valeurs correspondantes de y, puis écrivons nos résultats dans un tableau :




Equations du second degré :

Une équation du second degré à une inconnue peut s' écrire sous la forme :  
a x² + b x + c = 0.
Pour résoudre ce type d'équation, la méthode est la suivante :
On calcule le discriminant :  = b² - 4 a c.
Si ce nombre est négatif, l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.
Si le discriminant  est nul, l'équation a une solution "double" :  x = - b / (2 a).
Si le discriminant  est positif, calculons sa racine carrée  .
L' équation a alors deux solutions :
x₁ = (- b -  ) / (2 a)  et  x₂ = (- b +  ) / (2 a).