Distributivité

Quels que soient les nombres a, b et c, on aura toujours l'égalité :
a (b + c) = a b + a c .
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
C'est la formule fondamentale de la distributivité.

Exemple :
  • 8 * (12 + 3) = 8 * 15 = 120
  • 8 * 12 + 8 * 3 = 96 + 24 = 120

On a également :
a (b - c) = a b - a c .
On dit que la multiplication est distributive par rapport à la soustraction.

Exemple :
  • 6 * (12 - 7) = 6 * 5 = 30
  • 6 * 12 - 6 * 7 = 72 - 42 = 30

Dans les deux formules, le membre de gauche est un produit de facteurs : c'est la forme factorisée. Le membre de droite est sous forme développée.
Le passage de la forme factorisée à la forme développée s'appelle : développement.
Le passage de la forme développée à la forme factorisée s'appelle :  factorisation.
Les techniques du développement et de la factorisation jouent un rôle important en calcul numérique (par exemple dans la résolution de nombreuses équations).

A partir de la règle fondamentale, on peut démontrer la règle de la distributivité répétée (ou généralisée) :
le produit de deux sommes algébriques est égal à la somme algébrique de tous les produits obtenus en mutipliant chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde.
Exemples :
(7 + 3) * (6 + 4) = 7 * 6 + 7 * 4 + 3 * 6 + 3 * 4 = 42 + 28 + 18 + 12 = 100

(a + b) (c + d + e) = a c + a d + a e + b c + b d + b e