| Thalès Mathématicien grec né au VIIème siècle av. JC à Milet. L' un des sept sages de la Grèce. Théorème dit "de Thalès" : Soit un triangle (OAB) ; soit C un point de (OA) et D un point de (OB). Si les segments [AB] et [CD] sont parallèles, alors les égalités suivantes sont nécessairement vraies : 
Deux cas de figure :
Le théorème de Thalès permet d' affirmer que les côtés des deux triangles (OAB) et (OCD) sont proportionnels. Autrement dit, il existe un nombre réel k tel que : OC = k * OARéciproque : Soit un triangle (OAB) ; soit C un point de (OA) et D un point de (OB). Si on a l' égalité suivante : 
alors les segments [AB] et [CD] sont nécessairement
parallèles.
Exemple : Prenons le premier cas de figure, avec les mesures suivantes : OA = 45 mm ; OB = 60 mm ; AB = 42 mm ; OC = 30 mm. Les segments [AB] et [CD] sont supposés parallèles. On a alors : 
Remplaçons OA, OB, AB et OC par leurs
valeurs, qui sont connues :
On peut calculer OD et CD par la "règle de trois" : OD = 60 * 30 / 45 = 1800 / 45 = 40 (mm) CD = 42 * 30 / 45 = 1260 / 45 = 28 (mm) (Si deux fractions sont égales, alors le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.) On peut aussi utiliser le coefficient de proportionnalité k : k = 30 / 45 = 6 / 9 = 2 / 3 Les mesures des côtés du triangle (OCD) sont égales aux deux tiers des mesures des côtés du triangle (OAB). OC = OA * k = OA * 2 / 3 = 60 * 2 / 3 = 40 OD = OB * k = OB * 2 / 3 = 42 * 2 / 3 = 28 Voir : proportionnalité. Remarque : l' axiome des milieux (voir : milieux) est un cas particulier du théorème de Thalès, dans lequel : k = 1 / 2.
Voici maintenant une animation interactive destinée à illustrer la propriété de Thalès :
Voici maintenant une application de la propriété de Thalès à un cas particulier : la toile d' araignée. Dans notre figure, les sements de même couleur (autres que les rayons issus du centre) sont supposés parallèles. Ceci permet d' appliquer "un certain nombre de fois" la propriété de Thalès. On peut démontrer les relations indiquées en bas, à droite de la figure.
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